Решить дифференциальное линейное уравнение онлайн

Решить дифференциальное линейное уравнение онлайн

Подробное решение.
Программа действую по четко отлаженному механизму, который описан во многих учебниках. Сначала необходимо составить харакеристическое уравнение (в данном случае решается уравнение второй степени, так что и характеристическое уравнение будет второй степени. Т.е. необходимо решить квадратное уравнение) $ a \cdot y\textrm’\textrm’ + b \cdot y\textrm’ + c \cdot y = 0 $ $ a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 $. Находятся 2 корня данного характеристического уравнения, затем возможно 3 случая:
Случай № 1: Характеристическое уравнение имеет 2 разных и вещественных корня — $ k_1 $ и $ k_2 $,
тогда решение имеет вид: $ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} $

Случай № 2: Характеристическое уравнение имеет 2 одинаковых и вещественных корня — $ k_1 = k_2 $,
тогда решение имеет вид: $ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 xe^{k_2 x} $

Случай № 3: Характеристическое уравнение имеет 2 разных и комплексных корня — $ k_1 = a + ib $ и $ k_2 = a — ib $
тогда решение имеет вид: $ y = e^{ax} \cdot (C_1 cos(bx) + C_2 sin(bx)) $
Решим Ваше дифференциальное уравнение.


Условие

Вы ввели дифференциальное уравнение:

$$ y\textrm’\textrm’ — y\textrm’ — 2 y = 0 $$

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

$$ x^2 — x — -2 = 0 $$

Дискриминат D равен:

$$ D = b^2 — 4 \cdot a \cdot c = (-1)^2 — 4 \cdot (1) \cdot (-2) = 9 $$

Дискриминант больше нуля $ (D > 0)$ => Характеристическое уравнение имеет 2 вещественных решения (корня).
Следовательно решение имеет вид: $ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} $

$$ \sqrt{D} = 3 $$

$$ k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{ 1 + 3 }{ 2 \cdot (1) } = 2 $$
$$ k_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{ 1 — 3 }{ 2 \cdot (1) } = -1 $$

$$ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} $$

Подставляем найденные корни характерисического уравнения:

$$ y = C_1 e^{ 2 x} + C_2 e^{ -1 x} $$

Ответ

$$ y = C_1 e^{ 2 x} + C_2 e^{ -1 x} $$



Источник: www.webmath.ru


Добавить комментарий