Производная 2 y

Производная 2 y

Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

Производной функции Производная 2 yв точке Производная 2 yназывается предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

То есть,

Производная 2 y         (1)

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Производная 2 yПроизводная 2 yПроизводная 2 yПроизводная 2 y

Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

Производная 2 y.

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

Производная 2 y.

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Производная 2 y

Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

Производная 2 y

К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени Производная 2 y. Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t) называется предел средней скорости при Производная 2 y:

Производная 2 y

(при условии, что этот предел существует и конечен).

Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t) к приращению аргумента t при Производная 2 y Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

Производная 2 y.

Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Пример 2. Найти производную функции

Производная 2 y

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение Производная 2 yи найдём

Производная 2 y

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Производная 2 y

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Производная 2 y

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при Производная 2 y, то есть производную:

Производная 2 y

Касательной к графику функции Производная 2 yв точке М называется предельное положение секущей МР при Производная 2 y, или, что то же при Производная 2 y.

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

Производная 2 y,

причём предел Производная 2 yравен углу наклона касательной к оси Производная 2 y.

Теперь дадим точное определение касательной.

Из этого определения следует, что производная функции Производная 2 yравна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:

Производная 2 y

где Производная 2 y— угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

Пример 3. Найти производную функции Производная 2 yи значение этой производной при Производная 2 y.

Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

Шаг 1.

Производная 2 y

Шаг 2.

Производная 2 y

Шаг 3.

Производная 2 y

Шаг 4.

Производная 2 y

Выражение под знаком предела не определено при Производная 2 y(неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

Производная 2 y

Найдём значение производной при Производная 2 y:

Производная 2 y

Весь блок «Производная»



Источник: function-x.ru


Добавить комментарий