Корень из 9 512

Корень из 9 512

Дано уравнение
$$\left(x — 7\right)^{9} = -512$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 — не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(x — 7\right)^{9}} = \sqrt[9]{-512}$$
или
$$x — 7 = 2 \sqrt[9]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-7 + x = -2*1^1/9

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7 + 2 \sqrt[9]{-1}$$
Получим ответ: x = 7 + 2*(-1)^(1/9)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x — 7$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = -512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -512$$
где
$$r = 2$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (9 p \right )} + \cos{\left (9 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (9 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (9 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{9} N + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{2} = — 2 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — 2 \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{3} = — 2 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — 4 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{4} = — 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{5} = 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} — 2 i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )}$$
$$z_{6} = — 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{7} = 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} — 2 i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )}$$
$$z_{8} = — \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — \sqrt{3} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt{3} i \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{9} = — \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt{3} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — \sqrt{3} i \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
делаем обратную замену
$$z = x — 7$$
$$x = z + 7$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 7 + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{2} = — 2 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — 2 \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 7$$
$$x_{3} = — 2 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 7 — 4 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{4} = — 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 7 + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{5} = 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 7 — 2 i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )}$$
$$x_{6} = — 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 7 + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{7} = 2 \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + 7 — 2 i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 2 i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )}$$
$$x_{8} = — \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — \sqrt{3} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 7 — i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt{3} i \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{9} = — \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt{3} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + 7 — \sqrt{3} i \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} — i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$



Источник: www.kontrolnaya-rabota.ru


Добавить комментарий