Калитвин дифференциальные уравнения

Калитвин дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x, y, y) или y’ = f(x, y) (разрешенное относительно y).

Решением дифференциального уравнения называется функция у(x) , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения можно записать в явном виде Калитвин дифференциальные уравнения или в виде общего интеграла Ф(x, y, C) = 0, где С – произвольная постоянная.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области, содержащей точку (x0, y0) и имеет там ограниченную частную производную по y , то существует единственное решение уравнения Калитвин дифференциальные уравнения , удовлетворяющее условию Коши: y = y0 при x = x0.

Уравнения, допускающие аналитическое решение:

1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Калитвин дифференциальные уравнения

путем деления на Калитвин дифференциальные уравнения допускают интегрирование

Калитвин дифференциальные уравнения .

2) Однородное дифференциальное уравнение Калитвин дифференциальные уравнения с помощью подстановки y=xz приводится к уравнению с разделяющимися переменными Калитвин дифференциальные уравнения .

3) Линейное дифференциальное уравнение Калитвин дифференциальные уравнения . Решение ищем в виде Калитвин дифференциальные уравнения , где v удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению

Калитвин дифференциальные уравнения

Для u получим уравнение Калитвин дифференциальные уравнения .

Интегрируя последовательно уравнения для u и v получим решение

Калитвин дифференциальные уравненияКалитвин дифференциальные уравнения , где Калитвин дифференциальные уравнения

4) Уравнение БернуллиКалитвин дифференциальные уравнения . Замена Калитвин дифференциальные уравнения приводит к линейному дифференциальному уравнению Калитвин дифференциальные уравнения

5) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Калитвин дифференциальные уравнения , где Калитвин дифференциальные уравнения

Общий интеграл: Калитвин дифференциальные уравнения , где функция u определяется из системы Калитвин дифференциальные уравнения

Интегрируя первое уравнение, имеем Калитвин дифференциальные уравнения . Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функцию Калитвин дифференциальные уравнения , а затем u.

Пример 1. Решить уравнение

Калитвин дифференциальные уравнения

Решение. Так как Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем такую функцию u(x, y), что Калитвин дифференциальные уравнения ; Калитвин дифференциальные уравнения

Первое из этих уравнений проинтегрируем по х , считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования поставим Калитвин дифференциальные уравнения — неизвестную функцию от y:

Калитвин дифференциальные уравнения

Подставляя это выражение во второе уравнение, найдем:

Калитвин дифференциальные уравнения ,

Калитвин дифференциальные уравнения ; Калитвин дифференциальные уравнения .

Следовательно, можно взять Калитвин дифференциальные уравнения и общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

Калитвин дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка

Калитвин дифференциальные уравнения ,

имеет вид Калитвин дифференциальные уравнения , где Калитвин дифференциальные уравнения — произвольные постоянные.

Простейшие дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

1) Уравнение Калитвин дифференциальные уравнения решается последовательным n – кратным интегрированием правой части,

2) Уравнение Калитвин дифференциальные уравнения , не содержащее явно y, с помощью подстановки Калитвин дифференциальные уравнения приводится к дифференциальному уравнению 1-го порядка Калитвин дифференциальные уравнения ,

3) Уравнение Калитвин дифференциальные уравнения , не содержащее явно x. Подстановка Калитвин дифференциальные уравнения (y играет роль независимой переменной) с учетом равенств Калитвин дифференциальные уравнения приводит уравнение к уравнению 1-го порядка

Калитвин дифференциальные уравнения .

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка ( Калитвин дифференциальные уравнения )

Калитвин дифференциальные уравнения

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

Калитвин дифференциальные уравнения ,

где Калитвин дифференциальные уравнения — линейно-независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения; Калитвин дифференциальные уравнения — произвольные постоянные.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка ( Калитвин дифференциальные уравнения )

Калитвин дифференциальные уравнения .

Общее решение

Калитвин дифференциальные уравнения ,

где u(x) — частное решение неоднородного уравнения, а Калитвин дифференциальные уравнения — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

Если Калитвин дифференциальные уравнения , то частное решение Калитвин дифференциальные уравнения , где Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения — частные решения, соответствующие отдельным слагаемым Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения в правой части дифференциального уравнения.

1. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (a0, a1, a2, an – числа) имеет вид:

Калитвин дифференциальные уравненияКалитвин дифференциальные уравнения

Корни характеристического уравнения:

Калитвин дифференциальные уравнения

определяют следующие слагаемые в общем решении:

а) действительный простой корень Калитвин дифференциальные уравнения дает слагаемое Калитвин дифференциальные уравнения ;

б) действительный корень Калитвин дифференциальные уравнения кратности m дает слагаемое

Калитвин дифференциальные уравнения .

в) пара комплексно-сопряженных корней Калитвин дифференциальные уравнения дает слагаемое

Калитвин дифференциальные уравнения

г) пара комплексно-сопряженных корней Калитвин дифференциальные уравнения кратности m дает слагаемое Калитвин дифференциальные уравнения .

Например, если все корни Калитвин дифференциальные уравнения характеристического уравнения действительны и различны, то дифференциальное уравнение имеет общее решение

Калитвин дифференциальные уравнения

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Калитвин дифференциальные уравнения

Если Калитвин дифференциальные уравнения , где Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения — многочлены n-ой и m-ой степени, то частное решение ищут методом неопределенных коэффициентов в виде

Калитвин дифференциальные уравнения ;

Здесь r – кратность корня Калитвин дифференциальные уравнения в характеристическом уравнении (если такого корня нет, то r = 0);

Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения — степени Калитвин дифференциальные уравнения . Неопределенные коэффициенты Калитвин дифференциальные уравнения находятся из системы линейных алгебраических уравнений, путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x в обеих частях исходного уравнения после подстановки в него u(x) вместо y. Если в выражение для f(x) входит хотя бы одна из функций Калитвин дифференциальные уравнения или Калитвин дифференциальные уравнения , то в u(x) надо всегда вводить обе функции.

Пример 2. Решить уравнение

Калитвин дифференциальные уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение Калитвин дифференциальные уравнения ; Калитвин дифференциальные уравнения .

Калитвин дифференциальные уравнения — двукратный корень, Калитвин дифференциальные уравнения — кратности 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

Калитвин дифференциальные уравнения

Правая часть исходного уравнения состоит из двух слагаемых. Для первого уравнения

Калитвин дифференциальные уравнения (*)

частное решение будет иметь вид Калитвин дифференциальные уравнения , так как имеем кратный корень. Подставив y1 в уравнение (*), найдем Калитвин дифференциальные уравнения .

Для второго уравнения Калитвин дифференциальные уравнения (**) частное решение будем искать в виде

Калитвин дифференциальные уравнения .

Подставив y2 в уравнение (**), найдем Калитвин дифференциальные уравнения

Тогда общее решение исходного уравнения y = y0 + y1 + y2 , где y0, y1, y2 уже найдены. 

Упражнения.

Найти и построить интегральную кривую, проходящую через точку М:

a) Калитвин дифференциальные уравнения , М (1;0);

b) Калитвин дифференциальные уравнения , М (-2;-3);

c) Калитвин дифференциальные уравнения , М (0;1);

d) Калитвин дифференциальные уравнения , М (4;2);

e) Калитвин дифференциальные уравнения , М (2;-1);

f) Калитвин дифференциальные уравнения , М (2;1);

g) Калитвин дифференциальные уравнения , М (1;2);

h) Калитвин дифференциальные уравнения , М (0;1).

Найти общее решение дифференциального уравнения:

a) Калитвин дифференциальные уравнения ; b Калитвин дифференциальные уравнения ;

c) Калитвин дифференциальные уравнения ; d) Калитвин дифференциальные уравнения ;

e) Калитвин дифференциальные уравнения ;

f) Калитвин дифференциальные уравнения ; g ) Калитвин дифференциальные уравнения ;

h) Калитвин дифференциальные уравнения .

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

a) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

b) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

c) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

d) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

e) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравненияКалитвин дифференциальные уравнения ;

f) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

g) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения ;

h) Калитвин дифференциальные уравнения , Калитвин дифференциальные уравнения .

Найти общий интеграл однородного уравнения:

a) Калитвин дифференциальные уравнения ; b) Калитвин дифференциальные уравнения ;

c) Калитвин дифференциальные уравнения ; d) Калитвин дифференциальные уравнения ;

e) Калитвин дифференциальные уравнения ; f) Калитвин дифференциальные уравнения ;

g) Калитвин дифференциальные уравнения ; h) Калитвин дифференциальные уравнения .

Решить линейные однородные уравнения второго порядка:

a) Калитвин дифференциальные уравнения ; b) Калитвин дифференциальные уравнения ;

c) Калитвин дифференциальные уравнения ; d) Калитвин дифференциальные уравнения ;

e) Калитвин дифференциальные уравнения ; f) Калитвин дифференциальные уравнения ;

g) Калитвин дифференциальные уравнения ; h) Калитвин дифференциальные уравнения .

Решить линейные неоднородные уравнения:

a) Калитвин дифференциальные уравнения ; b) Калитвин дифференциальные уравнения ;

c) Калитвин дифференциальные уравнения ; d) Калитвин дифференциальные уравнения .

Ряды.

Числовые ряды

Выражение Калитвин дифференциальные уравнения называется числовым рядом;

uк – общим числом ряда;

Калитвин дифференциальные уравненияn-ной частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда, если Калитвин дифференциальные уравнения . Если Калитвин дифференциальные уравнения не существует или не ограничен, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

1. Необходимый признак сходимости ряда: если ряд Калитвин дифференциальные уравнения сходится, то Калитвин дифференциальные уравнения (если Калитвин дифференциальные уравнения , то ряд расходится).

2. Члены сходящегося ряда можно группировать в порядке следования, полученный новый ряд сходится и имеет ту же сумму.

3. Если сходятся ряды Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения , то сходится ряд

Калитвин дифференциальные уравнения .

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Если Калитвин дифференциальные уравнения для всех Калитвин дифференциальные уравнения >N, то из сходимости ряда Калитвин дифференциальные уравнения следует сходимость ряда Калитвин дифференциальные уравнения , а из расходимости ряда Калитвин дифференциальные уравнения — расходимость ряда Калитвин дифференциальные уравнения .

Для эффективного применения признака сравнения необходимо иметь «запас» рядов, сходимость или расходимость которых твердо установлена. Некоторые из таких рядов приведены в таблице:

2. Признак сравнения в предельной форме.

Если для знакоположительных рядов Калитвин дифференциальные уравнения и Калитвин дифференциальные уравнения существует конечный предел Калитвин дифференциальные уравнения , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда. Если Калитвин дифференциальные уравнения (но возможно Калитвин дифференциальные уравнения ), то из расходимости второго ряда следует расходимость первого.

3. Признак Даламбера.

Если Калитвин дифференциальные уравнения , то при Калитвин дифференциальные уравнения сходится, а при Калитвин дифференциальные уравнения >1 – расходится.

4. Радикальный признак Коши.

Если Калитвин дифференциальные уравнения , где k – число, то при k < 1 ряд Калитвин дифференциальные уравнения сходится, а при k > 1 – расходится.

5. Интегральный признак Маклорена – Коши:

Ряд с общим членом un = f(n) сходится, если f(x) – монотонноубывающая функция, определена для всех Калитвин дифференциальные уравнения и сходится несобственный интеграл Калитвин дифференциальные уравнения .

Если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда: Калитвин дифференциальные уравнения

Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходимости, для чего найдем предел его общего члена:

Калитвин дифференциальные уравнения .

Следовательно, необходимое условие сходимости выполнено. Дальнейшее исследование ряда на сходимость проведем с помощью признака Даламбера.

Вычисли Калитвин дифференциальные уравнения , найдем:

Калитвин дифференциальные уравнения , следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:



Источник: studopedia.ru


Добавить комментарий